Question

已知函数f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-λf（x），试问，是否存在实数λ，使得G（x）在（-∞，-1]上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数．

Answer

由f（x）求g（x），再求G（x）解析式，求G（x1）-G（x2）的表达式，最后要变形为因式相乘的形式；根据单调性得出这个式子的正负，从而得出λ的范围，由两个范围取交集可得λ的值．
【解析】
g（x）=f[f（x）]=f（x2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2．
G（x）=g（x）-λf（x）=x4+2x2+2-λx2-λ=x4+（2-λ）x2+（2-λ），G（x1）-G（x2）=[x14+（2-λ）x12+（2-λ）]-[x24+（2-λ）x22+（2-λ）]=（x1+x2）（x1-x2）[x12+x22+（2-λ）]
由题设当x1＜x2＜-1时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞1+1+2-λ=4-λ，
则4-λ≥0，λ≤4当-1＜x1＜x2＜0时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＜1+1+2-λ=4-λ，
则4-λ≤0，λ≥4故λ=4．