Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，，且a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=3049，则正整数k的值为（ ）
A．11
B．8
C．10
D．9

Answer

由题意可得：a2k+1=a2k+2，a2k=a2k-1+1=2a2k-1，（k∈N*）．于是a2k+1=2a2k-1+2，化为a2k+1+2=2（a2k-1+2），
可得数列{a2k-1+2}是以3为首项，2为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解析】
由题意可得：a2k+1=a2k+2，a2k=a2k-1+1=2a2k-1，（k∈N*）
∴a2k+1=2a2k-1+2，
化为a2k+1+2=2（a2k-1+2），
∴数列{a2k-1+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∴a2k-1+2=3×2k-1，化为．
∴3049=a1+a3+a5+…+a2k-1=3×（1+2+22+…+2k-1）-2k==3×2k-3-2k，
化为3×2k-1=1526+k，
∵210-1=512满足上式，故k=10．
故选C．