Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式； 
（Ⅱ）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）依题意，可求得an+1=2（an-1+1），{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，从而可求得数列{an}的通项公式； 
（Ⅱ）将an=2n-1代入bn=可求得bn=2（-），从而可求得数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2a1-1，得a1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+（n-1）=2an-2an-1-1，
∴an=2an-1+1，即an+1=2（an-1+1），
所以{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1=2n，
∴an=2n-1．（6分）
（Ⅱ）∵bn====2（-），
∴Tn=2[（1-）+（-）+…+（-）]
=2（1-）
=．（12分）