Question

已知a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n∈N^*，设b_n=lg（1+a_n）．
（Ⅰ） 证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ） 设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ） 设，求数列{d_n}的前n项和D_n．

Answer

（Ⅰ）把点的坐标代入函数解析式，两边同加1后取常用对数可得数列{bn}的递推式，由等比数列的定义可得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn，进而得到cn，利用错位相减法可得Sn；
（Ⅲ）由，得an+1=an（an+2），取倒数可得到，代入，得，由此可表示出Dn=2（），由（1）知：，可求得an+1；
【解析】
（Ⅰ） 证明：由题意知：，
∴，
∵a1=9∴an+1＞0，
∴，即bn+1=2bn．
又∵b1=lg（1+a1）=1＞0，
∴{bn}是公比为2的等比数列．
（Ⅱ） 由（1）知：，∴．
∴Sn=c1+c2+…+cn=1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1①，
∴②，
∴①-②得，，
∴．
（Ⅲ）∵，
∴，∴，
∴，
∴，
又由（1）知：，
∴，∴，
∴．