Question

已知两点F₁（0，-2），F₂（0，2），且点P到这两点的距离和等于6．
（1）求以F₁，F₂为焦点，且过点P的椭圆方程；
（2）设点P（0，3），F₁，F₂，P关于直线y=x的对称点分别为P'，，，求以，为焦点，且过点P′的双曲线方程．

Answer

（1）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后椭圆定义，得2a，c，再求出b．最后写出椭圆标准方程．
（2）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．
【解析】
（1）设椭圆的方程为，
由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=6，c=2，所以，b2=a2-c2=5．
所以，椭圆的方程为．…（5分）
（2）因为点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为P'（3，0），，，
设双曲线的方程为，
由双曲线定义，得2a=||P'F'1|-|P'F'2||=4，，
所以，b2=c2-a2=10．
所以，双曲线的方程为 ．…（10分）