Question

已知函数．
（Ⅰ）当a=1时，∃x∈[1，e]使不等式f（x）≤m，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

Answer

（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x∈[1，e]使不等式f（x）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．
（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．
【解析】
（I）当a=1时，，

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，
最小值为，
要使∃x∈[1，e]使不等式f（x）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故实数m的取值范围是
（2）已知函数．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即恒成立．
设．
即g（x）的最大值小于0.
（1）当时，，
∴为减函数．
∴g（1）=-a-≤0
∴a≥-
∴
（2）a≥1时，．
为增函数，
g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．
（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，
同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是．