Question

利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）（n∈N^*）”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是（ ）
A．2
B．2k+2
C．（2k+1）（2k+2）
D．4k+2

Answer

依题意，可写出n=k时成立的等式与n=k+1时成立的等式，二者比较即可得到答案．
【解析】
假设n=k时等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2k×1×3×…×（2k-1）（k∈N*），
则当n=k+1时，应有[（k+1）+1][（k+1）+2][（k+1）+3）]•…[（k+1）+（k+1）]=2k+1×1×3×…×[2（k+1）-1]（k∈N*），
即（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）•=2k+1×1×3×…×（2k+1）（k∈N*），
∴从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的是=2（2k+1）=4k+2．
故选D．