Question

已知函数，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式（不用证明）；
（2）试证明：对任意n∈N^*，a₁，a_n，不可能成等差数列．

Answer

（1）由已知可得数列{an}的递推公式为，an+1=f（an）=2-，分别令n=2，3，4依次计算求解即可．
（2）假设存在m∈N*，使得a1，am，成等差数列，根据等差数列的定义，a1+=2am，通过此关于m的方程解的有误进行判断与证明．
【解析】
（1）由已知可得数列{an}的递推公式为，an+1=f（an）=2-
求得
猜想
（2）假设存在m∈N*，使得a1，am，成等差数列，则a1+=2am，
即，即
所以m2-3m-8=0，该方程没有正整数解，所以假设不成立，
所以对任意n∈N*，a1，an，不可能成等差数列．