Question

已知函数f（x）=a²lnx，g（x）=-，a为常数，且a≠0．
（Ⅰ）令h（x）=f（x）-，求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，且当x₁，x₂∈（0，1]，x₁≠x₂时，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用导数的运算法则可得h′（x）==（x＞0），再对a分类讨论即可得出其单调性；
（II）不妨设0＜x1＜x2≤1．利用导数可得g（x）的单调性，由f（x）得单调性易得，即可把问题转化为f（x2）-f（x1）＞g（x1）-g（x2），即f（x2）+g（x2）＞f（x1）+g（x1）．令F（x）=f（x）+g（x），由F（x2）＞F（x1），可得F（x）在（0，1]上递增，
于是对x∈（0，1]F′（x）≥0恒成立．通过分离参数等价转化，利用导数即可得出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵h（x）=，∴h′（x）==（x＞0），
①当a≤-1时，h′（x）≥0，∴h（x）的单调递增区间为：（0，+∞）．
②当a＞-1且a≠0时，令h′（x）≥0，解得；h′（x）＜0，解得．
∴h（x）的单调递增区间为：，单调递减区间为：．
（Ⅱ）不妨设0＜x1＜x2≤1．
∵f（x）在（0，1]上递增，∴f（x1）＜f（x2）．
而，
∵a＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上递减，
∴g（x1）＞g（x2）．
故由题意得：f（x2）-f（x1）＞g（x1）-g（x2），
即f（x2）+g（x2）＞f（x1）+g（x1）．
令F（x）=f（x）+g（x）=，
则F（x2）＞F（x1），∴F（x）在（0，1]上递增，
∴对x∈（0，1]恒成立．
即  对x∈（0，1]恒成立．                
再设G（x）=，
∵G′（x）=-，∴G（x）在（0，1]上单调递减．
∴．
∴，
解得：或．∴实数a的取值范围为：．