Question

定义在R上的函数f（x）对一切实数x、y都满足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）•f（y），已知f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），则f（x）在R上的值域是（ ）
A．R
B．（0，1）
C．（0，+∞）
D．（0，1）∪（1，+∞）

Answer

由题设条件，可先令x=y=0，解得f（0）=1，再令y=-x，得f（x）•f（-x）=1，从而结合f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），解出f（x）在（-∞，0）上的值域，即可得出函数在R上的值域，选出正确选项
【解析】
因为定义在R上的函数f（x）对一切实数x、y都满足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=y=0可得f（0）=f（0）•f（0），
解得f（0）=1
再令y=-x，则可得f（0）=f（x）•f（-x）=1，
又f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），
所以f（x）在（-∞，0）上的值域为（1，+∞）
综上，f（x）在R上的值域是（0，1）∪（1，+∞）
故选D