已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）...

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）= manfen5.com 满分网

．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的减函数；
（3）解关于x的不等式： manfen5.com 满分网

．（其中b＞2）

（1）由题意，直接对f（x）+f（y）=f（x+y）中的变量进行赋值，先令x=y=0求得f（0），再令y=-x，即可得到f（x）+f（-x）=0，即可判断出结论（2）利用定义法判断函数的单调性即可（3）先利用恒等式对所给的不等式进行化简，再利用函数的单调性即可解出不等式的解集【解析】（1）由题意，在f（x）+f（y）=f（x+y）中令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0 再令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0）=0 所以函数是奇函数（2）令x1＜x2，则x2=x1+x2-x1，x2-x1＞0 所以f（x1）+f（x2-x1）=f（x2），又x＞0时，f（x）＜0 所以f（x2-x1）＜0 所以f（x1）＞f（x2），即f（x）为R上的减函数（3）不等式⇔⇔ 又f（x）为R上的减函数所以，整理得（b-2）x＜-2b，又b＞2，即b-2＞0 解得．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．

查看答案

已知奇函数

（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．
（2）若函数f（x）在区间[-1，|a|-2]上单调递增，试确定a的取值范围．

查看答案

求函数y=

的定义域、值域和单调区间．

查看答案

已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|2x+4＜0}，B={x|x²+2x-3≤0}，①求∁_UA；②∁_U（A∩B）

查看答案

设指数函数f（x）=a^x，（a＞0且a≠1），对于任意x，y∈R，下列算式中：
①f（x+y）=f（x）•f（y）
②f（xy）=f（x）+f（y）
③f（x-y）= manfen5.com 满分网

④f（nx）=fⁿ（x）
⑤f[（xy）ⁿ]=fⁿ（x）•fⁿ（y）
其中不正确的是．（只需填上所有不正确的题号）查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等