Question

设函数f（x）=+，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer

（1）由f（x）是R上的偶函数，可得f（-1）=f（1），即+=，化简得 =e（），故有-a=0，a2=1．再由a＞0求得a的值．
（2）由f（x）=ex+e-x，可得函数f（x）的导数f′（x）=ex-，根据当x＞0时，ex＞1，可得f′（x）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上为增函数．
解 （1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴+=，即  +=+，即-=-ae．
∴=e（），∴-a=0，∴a2=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）由上可得f（x）=ex+e-x．
由于函数f（x）的导数f′（x）=ex-，当x＞0时，ex＞1，∴f′（x）=ex-＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．