Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx，若函数f（x）在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a＜-4
C．a≥0或a≤-4
D．a＞0或a＜-4

Answer

求出原函数的导函数，由函数f（x）在（0，1）上单调，所以在x∈（0，1）时，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，分离变量后利用二次函数的单调性求最值，从而得到a的范围．
【解析】
由f（x）=x2+2x+alnx，所以，
若函数f（x）在（0，1）上单调，则当x∈（0，1）时，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，
即2x2+2x+a≥0①，或2x2+2x+a≤0②在（0，1）上恒成立，
由①得，a≥-2x2-2x，由②得，a≤-2x2-2x，
因为y=-2x2-2x的图象开口向下，且对称轴为，所以在（0，1）上，ymax=0，ymin=-4
所以a的范围是a≥0或a≤-4．
故选C．