Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-．
（1）若函数f（x）在[0，+∞）内为增函数，求正实数a的取值范围．
（2）当a=1时，求f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（3）试利用（1）的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有+++…+＜lnn．

Answer

（1）求函数的导数，则导数f′（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立即可，分离参数即得a≥对任意x∈[0，+∞）恒成立，a≥（）max（x∈[0，+∞））即可．
（2）a=1时，求f（x）的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在[-，1]的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．
（3）由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）上是增函数，则f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥，x∈[0，+∞）成立．即ln＞，得证，或利用数学归纳法来证明也可．
【解析】
（1）∵f（x）=ln（x+1）-，∴f′（x）=（a＞0）．
∵函数f（x）在[0，+∞）内为增函数，∴f′（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴a（x+1）-1≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，即a≥对任意x∈[0，+∞）恒成立．
而当x∈[0，+∞）时，（）max=1，∴a≥1．
（2）当a=1时，f′（x）=．∴当x∈[-，0）时，f′（x）＜0，f（x）在[-，0）上单调递减，
当x∈（0，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，∴f（x）在[-，1]上有唯一极小值点，
故f（x）min=f（0）=0．又f（-）=1+ln=1-ln2，f（1）=-+ln2，
f（-）-f（1）=-2ln2==∵e3＞16，
∴f（-）-f（1）＞0，即f（-）＞f（1）．∴f（x）在[-，1]上的最大值为f（-）=1-ln2．
综上，函数f（x）在[-，1]上的最大值是1-ln2，最小值是 0．
（3）法一：用数学归纳法．
①当n=2时，要证＜ln2，只要证ln4＞1，显然成立．
②假设当n=k时，不等式+++…+＜lnk（k＞1，k∈N*）成立．
则当n=k+1时，+++…++＜lnk+．要证lnk+＜ln（k+1）成立，
只要证＜ln，即＜ln（1+）． 令=x＞0，则上式化为＜ln（1+x）（x＞0）．
只要证：ln（1+x）-＞0（*）．
由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）内是增函数，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥x∈[0，+∞）成立，而（*）中x=（k＞1，k∈N*），x＞0，
∴ln（1+x）-＞0 即（*）式成立．∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②知对任意n＞1的正整数不等式都成立．
法二：由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）上是增函数，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥，x∈[0，+∞）成立．
令x=（n∈N*），则x＞0，∴有ln（1+x）＞，即ln＞．
由此得ln＞，ln＞，ln＞，…，ln＞，
则ln+ln+ln+…+ln＞+++…+，即得lnn＞+++…+．
故对大于1的任意正整数n．都有+++…+＜lnn．