Question

已知函数f（x）=mx²+lnx-2x．
（1）若m=-4，求函数f（x）的最大值．
（2）若f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导数，确定函数的单调性，从而可得函数的最值；
（2）令导数大于等于0，再利用分离参数法，确定相应函数的最值，即可求实数m的取值范围．
【解析】
f（x）的定义域为（0，+∞）．．…（1分）
（1）当m=-4时，，
令f'（x）=0，得或（舍去）．…（3分）
列表：

x
f'（x） + -
f（x） ↗ 最大值： ↘

故函数f（x）的最大值为．…（6分）
（2）令f'（x）≥0，即，．
∵x＞0，∴2mx2-2x+1≥0．
∵f（x）在定义域内为增函数，∴2mx2-2x+1≥0在x∈（0，+∞）恒成立．…（7分）
即．…（9分）
当x∈（0，+∞）时，，
当时，取得．
故．…（12分）