Question

已知函数 ，m∈R．
（Ⅰ）若函数 f（x）在x=2处有极值，求m 的值；
（Ⅱ）当 m≤0时，讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅲ）求证：当 m=-2时，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有．

Answer

（Ⅰ）由x=2是函数的一个极值点，可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出m；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），分类讨论m，判断f'（x）的符号，进而得到f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当 m=-2时，对任意的 x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，要证明，
即证明f（x1）-f（x2）＞x1-x2，即证f（x1）+x1＜f（x2）+x2，
故我们可以构造辅助函数g（x）=f（x）+x，通过讨论辅助函数g（x）=f（x）+x的单调性证明结论．
【解析】
（Ⅰ）
∵函数 f（x）在x=2处有极值∴
∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．
（Ⅱ）∵==
∴（1）当-1＜m≤0时，若x∈（0，-m）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m=-1时，，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）当m＜-1即-m＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅲ）当m=-2时，函数f（x）=x2+2lnx-3x．
构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得
g'（x）=x+-2==
∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．
∴对任意0＜x1＜x2，都有g（x1）＜g（x2）成立，
即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．
即f（x1）-f（x2）＞x1-x2．
又∵x1-x2＜0，
∴（14分）