(1)由奇函数的定义利用待定系数法求得d,再由x=1时f(x)取得极值-2.解得a,c从而确定函数,再利用导数求单调区间和极大值.
(2)由(1)知,f(x)=x3-3x(x∈[-1,1])是减函数,从而确定|f(x1)-f(x2)|最小值,证明即可.
【解析】
(1)由奇函数的定义,应有f(-x)=-f(x),x∈R
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d∴d=0
因此,f(x)=ax3+cxf'(x)=3ax2+c
由条件f(1)=-2为f(x)的极值,必有f'(1)=0,故
解得a=1,c=-3
因此,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)f'(-1)=f'(1)=0
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,故f(x)在单调区间(-∞,-1)上是增函数
当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,故f(x)在单调区间(-1,1)上是减函数
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在单调区间(1,+∞)上是增函数
所以,f(x)在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=2
(2)由(1)知,f(x)=x3-3x(x∈[-1,1])是减函数,
且f(x)在[-1,1]上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在[-1,1]上的最小值m=f(1)=-2
所以,对任意的x1,x2∈(-1,1),恒有|f(x1)-f(x2)|<M-m=2-(-2)=4