Question

三次函数f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

Answer

由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x3．对x分类讨论：①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔恒成立⇔，x∈（1，2]，利用导数求出其最小值即可．
【解析】
由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x3．
①当x=1时，上式对于b∈R都成立；
②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔恒成立，x∈（1，2]⇔，x∈（1，2]．
令g（x）=，x∈（1，2]，则，由g′（x）=0，解得．
列表如下：
由表格可知：当x=时，g（x）取得极小值，也即最小值，=．
∴3b，解得．
综上①②可知：b的取值范围是．