Question

已知直线y=x+b与抛物线y²=2x有两个不同的公共点A、B，O为坐标原点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=-2时，①求证OA⊥OB；②计算△AOB的面积．

Answer

（1）将直线与抛物线方程联立，利用判别式大于0，即可求实数b的取值范围；
（2）①利用韦达定理，结合数量积公式，即可证明OA⊥OB；
②利用三角形的面积公式，即可计算△AOB的面积．
【解析】
（1）由得，y2-2y+2b=0，由△=4-8b＞0得，b＜…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=-2时，由（1）知y1+y2=2，y1y2=-4
①=x1x2+y1y2=+y1y2=0，所以OA⊥OB…（7分）
②因为x1x2==4，x1+x2=（y1+2）+（y1+2）=y1+y2+4=6
所以=
==…（10分）