Question

已知f（x）=x³+3x²+a（a为常数），在[-3，3]上有最小值3，那么在[-3，3]上f（x）的最大值是    ．

Answer

要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在[-3，3]上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可．
解析：f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=-2．
（i）当0≤x≤3，或-3≤x≤-2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
（ii）当-2＜x＜0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（-3）或f（0）⇒
f（-3）=（-3）3+3×（-3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，
∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（-2）或f（3），
f（-2）=（-2）3+3×（-2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，则最大值为57．
故答案为：57．