Question

已知函数f（x）=x²+lnx
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方．

Answer

（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）=x2+lnxx3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0可证．
【解析】
（1）由f（x）=x2+lnx有f′（x）=x+（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴fmax（x）=f（e）=e2+1，
fmax（x）=f（1）=（6分）
（2）设F（x）=x2+lnx-x3，
则F′（x）=x+-2x2=
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=-＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴x2+lnx＜x3，得证（12分）