Question

已知函数f（x）=-mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]
B．（-∞，-1]
C．[-2，-1]
D．[-2，+∞）

Answer

由f（x）=-mx3+nx2，知f′（x）=-3mx2+2nx，故f′（-1）=-3m-2n，函数f（x）=-mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，知，解得m=-1，n=3，令f′（x）=3x2+6x≤0，解得-2≤x≤0，由函数f（x）在[-2，0]上单调递减，能求出t的范围．
【解析】
∵f（x）=-mx3+nx2，
∴f′（x）=-3mx2+2nx，
∴f′（-1）=-3m-2n，
∵函数f（x）=-mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，
∴，解得m=-1，n=3，
∴f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=3x2+6x≤0，解得-2≤x≤0，
∴函数f（x）在[-2，0]上单调递减，
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
∴，解得-2≤t≤-1．
故选C．