Question

如图所示的曲线C是由部分抛物线C（|x|≥1）和曲线C₂：（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C₁相切于点M，与曲线C₂相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．

Answer

（1）依题意可表示出切线的方程整理后代入C2的方程整理求得m的关系式，利用判别式等于0，即可求得m的值，从而可得N的坐标；
（2）题意可表示出切线的方程整理后代入C2的方程整理求得m的关系式，利用判别式等于0，即可求得m=0或m和t的关系式，表示出直线AM和AN的斜率，若∠MAB=∠NAB，则kAM=-kAN，求得t，进而根据中m和t的关系式，求得m，进而求得M，N的坐标，利用两点式求得MN所在直线的方程．
【解析】
（1）切线l：y-1=2（x-），即y=2x-3，
代入，化简并整理得（m+8）x2-12x+9-m=0，
由△=（12）2+4（m+8）（9-m）=4m（m-1）=0
∵m＞0，∴m=1．
此时，点N的坐标为（）．
（2）由题意可知M（t，t2-1），切线l的方程表达式为y-（t2-1）=2t（x-t），即y=2tx-t2-1，
与联立方程组，整理得（m+4t2）x2-4t（t2+1）x+（t2+1）2-m=0，（*）
由△=16t2（t2+1）2+4（m+4t2）[m-（t2+1）2]=4m[m-（t2-1）2]=0
得m=0（舍去）或m=（t2-1）2．
此时，点N的坐标为（）．
∵A（-1，0），M（t，t2-1），∴=t-1，=-（t-1）2，
若∠MAB=∠NAB，则kAM=-kAN，即t=2，此时m=9，
故当实数m=9时，∠MAB=∠NAB．
此时kAM=1，kAN=-1，∠MAB=∠NAB=45°，
∴M（2，3），N（），
∴MN所在直线的方程为y=4x-5．