Question

将一块圆心角为半径为a的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上（图1）或让矩形一边与弦AB平行（图2）
（1）在图1中，设矩形一边PM的长为x，试把矩形PQRM的面积表示成关于x的函数；
（2）在图2中，设∠AOM=θ，试把矩形PQRM的面积表示成关于θ的函数；
（3）已知按图1的方案截得的矩形面积最大为，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由．

Answer

（1）求出PM，RM的值，利用面积公式可得结论；
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面积公式可得结论；
（3）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数求最值，即可得到结论．
【解析】
（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR=
在Rt△PMO中，OM=，∴RM=OM-OR=…（2分）
∴，…（3分）
（2）∠MRA=×=，∠MRO=，
在△OMR中，由正弦定理，得：=，即RM=2a•sinθ，…（6分）
又=，∴OR=2a•sin（-θ），…（8分）
又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（-θ）
∴矩形的MPQR的面积为S=MR•PQ=4a2•sinθ•sin（-θ）  …（9分）
（3）对于（2）中的函数=…（11分）
当，即时，…（13分）
∵，故按图1的方案能得到最大面积的矩形．…（14分）