Question

（1）证明函数 f（x）=x+ 在x∈[2，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer

（1）用定义证明，则先在给定的区间上任取两个变量，且界大小，再作差变形看符号，若自变量与相应函数值变化一致，则为增函数，若自变量变化与相应函数值变化相反时，则为减函数．
（2）已经知道f（x）为增函数，根据函数的单调性，可以求出其值域；
证明：（1）设2＜x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+-x2-=x1-x2+
=（x1-x2）（1-）
∵2＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞4即0＜＜1，
∴1-＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是增函数；
（2）由（1）知f（x）在[4，8]上是增函数，
f（x）max=f（8）=；
f（x）min=f（4）=5，
∴f（x）的值域为：[5，]；