Question

已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．再验证，从而可得f（x）为奇函数；
（2）f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3，作差f（x1）-f（x2）==，从而可知当0＜m＜1时，logm，即f（x1）＞f（x2）；当m＞1时，logm，即f（x1）＜f（x2），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                   
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，故若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[logmm（β-1），logmm（α-1）]，则有，从而问题可转化为α，β是方程的两个解，进而问题得解．
【解析】
（1）由得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
∵
∴f（x）为奇函数                     …（3分）
（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．
设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3，
f（x1）-f（x2）==
∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）=6（x1-x2）＜0，
∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3）
即，
∴当0＜m＜1时，logm，即f（x1）＞f（x2）；
当m＞1时，logm，即f（x1）＜f（x2），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                      …（7分）
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，
∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[logmm（β-1），logmm（α-1）]，
则有…（9分）
∴
∴α，β是方程的两个解…（10分）
解得当时，[α，β]=，
当时，方程组无解，即[α，β]不存在．                 …（12分）