Question

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点A（1，3），曲线在点A处的切线恰好与直线x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f（x）=ax3+bx2的图象经过点A（1，3）⇒a+b=3①；f′（1）=3a+2b，f′（1）•（-）=-1②，①②联立即可求得实数a，b的值；
（Ⅱ）由f′（x）=3x2+4x≤0⇒-≤x≤0，函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减⇒[m-1，m]⊆[-，0]，从而可求得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点A（1，3）
∴a+b=3---（1分）
∵f′（x）=3ax2+2bx，
∴f′（1）=3a+2b-------------（2分）
由已知条件知f′（1）•（-）=-1，
即3a+2b=7-------------（4分）
∴解得：-------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x3+2x2，f′（x）=3x2+4x，
令f′（x）=3x2+4x≤0，则-≤x≤0--------------（8分）
∵函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减，
∴[m-1，m]⊆[-，0]，
∴，即-≤m≤0---------------（12分）