Question

已知f（x）=ax³-bx²+cx在区间[0，1]上是减函数，在区间（-∞，0]，[1，+∞）上是增函数，又f′（2）=12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[0，m]．（m＞0）上恒有f（x）≤5x成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由条件可知函数在x=1和x=0处取得极值，以及f′（2）=12，联立方程解的a，b，c．
（2）解不等式f（x）≤5x，从而确定m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3ax2-2bx+c，
由已知f'（0）=f'（1）=0，
即解得
所以f'（x）=3ax2-3ax，因为f'（2）=12a-6a=6a=12，所以a=2，
所以f（x）=2x3-3x2．
（Ⅱ）令f（x）≤5x，即2x3-3x2-5x≤0，
所以（2x-5）（x+1）≤0，解得．
又f（x）≤5x在区间[0，m]上恒成立，所以．