Question

已知函数f（x）=x²-ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在负实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，可求得f′（x）=（x＞0），由f′（x）≤0可求其单调递减区间，由f′（x）≥0可求其单调递增区间；
（Ⅱ）依题意，f′（x）=2x-a-=≤0在[1，3]上恒成立，令 h（x）=2x2-ax-1，由可求得a的范围；
（Ⅲ）假设存在负实数a，使g（x）=f（x）-x2=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，利用g′（x）=-，分0＜-＜e与-≥e讨论，结合函数的单调性判断即可求得答案．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，由f′（x）=2x-1-==，
∵函数f（x）=x2+x-lnx的定义域为（0，+∞），
∴当x∈（0，1]时，f′（x）≤0，当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0
∴函数f（x）=x2+x-lnx的单调递减区间为（0，1]，
单调递增区间为[1，+∞）…（4分）
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，
则f′（x）=2x-a-=≤0在[1，3]上恒成立，
因为x＞0，令 h（x）=2x2-ax-1，
有得，得…（8分）
（III）假设存在负实数a，使g（x）=f（x）-x2，即g（x）=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，g′（x）=-a-=…（9分）
（1）当0＜-＜e，即a＜-时，g（x）在（0，-）上单调递减，在（，e]上单调递增
∴g（x）min=g（-）=1+ln（-a）=2，a=-e，满足条件．…（11分）
（2）当-≥e，即a≥-时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上单调递减，
此时g（x）min=g（e）=-ae-1=2，
∴a=-（舍去），即f（x）无最小值．…（13分）
综上，存在负实数a=-e，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值2．…（14分）