Question

在数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=4a_n-9n，n=1，2，3，…．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer

利用数列递推式，代入计算，可得a2，a3，a4的值，猜想通项，再利用数学归纳法证明即可．
【解析】
根据已知，a2=7，a3=10，a4=13．…（3分）
猜想an=3n+1．…（5分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=4，右边=3×1+1=4，猜想成立．…（6分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=3k+1，…（7分）
则n=k+1时，ak+1=4ak-9k=4（3k+1）-9k=3k+4=3（k+1）+1，
所以 当n=k+1时，猜想也成立．…（12分）
根据 ①和 ②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（13分）