Question

经销某品牌的汽车，顾客通常采用分期付款的方式购车．根据以往资料统计，付款期数X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

经销该品牌的汽车，若采用1期付款，其利润为10⁴元；分2期或3期付款，其利润为1.5×10⁴元；分4期或5期付款，其利润为2×10⁴元．
（Ⅰ）求购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率；
（Ⅱ）记Y为经销一辆该品牌汽车的利润，求Y的分布列及期望E（Y）．

Answer

（Ⅰ）记“购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”为事件A．由题意知购买该汽车的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是，购买该汽车的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．
（II）根据顾客采用的付款期数X的分布列对应于Y的可能取值为104元，1.5×104元，2×104元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）记“购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”为事件A．
则表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．…（2分）
故 ，…（4分）
所以．                                      …（6分）
（Ⅱ）Y的可能取值为104元，1.5×104元，2×104元．                 …（7分）
P（Y=104）=P（X=1）=0.4，
P（Y=1.5×104）=P（X=2）+P（X=3）=0.2+0.2=0.4，
P（Y=2×104）=P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1=0.2．              …（10分）
Y的分布列为：

Y 104 1.5×104 2×104
P F1 0.4 0.2

…（11分）
∴E（Y）=104×0.4+1.5×104×0.4+2×104×0.2=1.4×104（元）．       …（13分）