Question

已知函数f（x）=x³-6ax²，其中a≥0．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）先求导，通过讨论a的取值，讨论函数的单调性．
（Ⅱ）利用导数通过列表格求出函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2-12ax．…（2分）
令f'（x）=0，得x1=0，x2=4a．…（3分）
①当a=0时，f'（x）=3x2≥0，故f（x）在R上为增函数．…（4分）
②当4a＞0，即a＞0时，列表分析如下：

x （-∞，0） （0，4a） 4a （4a，+∞）
f'（x） + - +

所以函数f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．…（7分）
综上，当a=0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．
（Ⅱ）①当a=0时，f（x）在区间（0，1）内为增函数，所以f（x）min=f（0）=0．…（9分）
②当0＜4a＜1时，即时，f（x）在区间（0，4a）内为减函数，在（4a，1）内为增函数，所以．…（11分）
③当4a≥1时，即时，f（x）在区间（0，1）内为减函数，所以f（x）min=f（1）=1-6a．
…（13分）
综上，当时，；当时，f（x）min=1-6a．