Question

已知函数f（x）=x²-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x是函数f（x）的极值点，证明：-＜f（x）＜0．

Answer

（Ⅰ）对f（x）导数，得，f（x）=x2-2x+alnx不是单调函数，且无最小值，说明f'（x）=0必有2个不相等的正根，再利用二次函数图象与性质求解
（Ⅱ）x是函数f（x）的极值点，则x是f'（x）=0的2个不相等的正根，综合利用函数与不等式知识解决．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）
对f（x）导数，得．…（3分）
显然，方程f'（x）=0⇔2x2-2x+a=0（x＞0）．
若f（x）不是单调函数，且无最小值，
则方程2x2-2x+a=0必有2个不相等的正根．…（5分）
所以 解得．…（6分）
（Ⅱ）设方程2x2-2x+a=0的2个不相等的正根是x1，x2，其中x1＜x2．
所以，列表分析如下：

x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + - +

所以，x1是极大值点，x2是极小值点，f（x1）＞f（x2）．
故只需证明．…（8分）
由 0＜x1＜x2，且x1+x2=1，得 ．…（9分）
因为 ，，所以 f（x1）=x1（x1-2）+alnx1＜0．…（10分）
由 ，得 ，
所以 ．…（12分）
对x2求导数，得 f'（x2）=-2（2x2-1）lnx2．
因为 ，所以f'（x2）＞0，
所以 f（x2）是上的增函数，
故 ．…（14分）
综上 ．