Question

已知数列{a_n}的首项，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据an+1和an关系式进行化简，
（2）先由（1）得出数列{}的通项公式，然后根据分组方法求出Sn，解不等式Sn＜100即可；
（3）假设存在正整数m，s，n，根据等比数列性质得出（am-1）•（an-1）=（as-1）2并化简，再根据a+b≥2，确定是否存在．
【解析】
（1）∵，∴，（2分）
∵，∴，（3分）
∴，
∴数列为等比数列．（4分）
（2）由（1）可求得，∴．（5分）=，（7分）
若Sn＜100，则，∴nmax=99．（9分）
（3）假设存在，则m+n=2s，（am-1）•（an-1）=（as-1）2，（10分）
∵，∴．（12分）
化简得：3m+3n=2•3s，（13分）
∵，当且仅当m=n时等号成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）