Question

已知函数f（x）对其定义域内任意两个实数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．试用反证法证明：函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点．

Answer

（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2 ，由已知可得f（x1）＜f（x2）．再由函数的零点的定义可得f（x1）=f（x2）=0，
这与f（x1）＜f（x2）矛盾，所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，综合可得函数f（x）的图象
不可能与x轴有两个以上交点．
证明：假设函数f（x）的图象与x轴至少有两个交点，…（2分）
（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2 ，…（5分）
由已知，函数f（x）对其定义域内任意实数x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）．…（7分）
又根据假设，x1，x2是函数f（x）的两个零点，所以，f（x1）=f（x2）=0，…（9分）
这与f（x1）＜f（x2）矛盾，…（10分）
所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．…（11分）
（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，…（12分）
所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个以上交点．
综上，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点…（14分）