Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）＞0，且对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，并指出函数f（x）在R上的单调性；
（2）求证：函数f（x）为奇函数；
（3）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意的x∈R恒成立，求实数k的范围．

Answer

（1）令x=y=0可求得f（0）=0，由f（x）为R上的单调函数且f（3）＞0=f（0）即可判断函数f（x）在R上的单调性；
（2）由（1）知f（0）=0，再令y=-x，可求得f（x）+f（-x）=0，从而可判断函数f（x）为奇函数，问题得证；
（3）依题意，可求得f（k•3x）＜f（-3x+9x+2），再结合f（x）为R上的单调增函数，可求得k•3x＜-3x+9x+2⇔k＜-1+3x+恒成立，求得-1+3x+的最小值即可．
【解析】
（1）令x=y=0，得 f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0…（1分）
又f（x）为R上的单调函数
且 f（3）＞0=f（0）…（3分）
所以f（x）为R上的单调增函数…（4分）
（2）由已知，函数f（x）的定义域关于原点对称，
令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）…（6分）
由于f（0）=0，得f（-x）=-f（x）
所以，函数f（x）为奇函数…（8分）
（3）由f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0，f（k•3x）＜-f（3x-9x-2），f（k•3x）＜f（-3x+9x+2），…（9分）
因为f（x）为R上的单调增函数，…（10分）
所以k•3x＜-3x+9x+2，k＜-1+3x+…（11分）
因上式对于∀x∈R恒成立，
只需k小于-1+3x+的最小值，
由于3x+≥2，…（12分）
所以-1+3x+≥2-1，
所以，k＜2-1…（13分）
故，实数k的取值范围为…（14分）