Question

下列命题：
①若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则；
②若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g'（2013）=2012!；
③若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件；
④函数的单调递增区间是．
其中真命题为    ．（填序号）

Answer

①对函数整理后求导，将代入导函数解析式即可；
②利用乘积的求导法则对函数整理后求导，将2013代入导函数解析式即可；
③f（x）为三次函数，“f（x）有极值点”的充要条件是导函数有两个不相等的零点，考虑其△即可；
④求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的增区间
【解析】
①由于函数h（x）=cos4x-sin4x=（cos2x-sin2x）（cos2x+sin2x）=cos2x-sin2x=cos2x，则h′（x）=-2sin2x
则，故①为假命题；
②由于函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
则g'（x）=[（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013）][（x-1）（x-3）…（x-2012）（x-2013）]…[（x-1）（x-2）…（x-2011）（x-2012）]
故g'（2013）=2012•2011•2010…2•1=2012!，故②为真命题；
③f′（x）=3ax2+2bx+c，f（x）有极值点⇔f′（x）=0有两个不等实根⇔△=4b2-12ac＞0，故命题③为假命题；
④由于函数，则导函数
令f′（x）＞0，则2cosx+1＞0，解得
故f（x）的增区间是，故④为真命题．
故答案为②④