Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（Ⅰ）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当＜x＜y＜1时，试比较与的大小；
（Ⅲ）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）x2+x-xlnx）≥bx2+2x恒成立等价于b≤，构造函数g（x）=，利用导数可求得g（x）min，从而可求得实数b的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，从而可得＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y），化简可得结论；
（Ⅲ）求导数f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ） 由f（1）=2，得a=1…（2分）
∵x＞0，∴x2+x-xlnx）≥bx2+2x恒成立等价于b≤，
令g（x）=，可得g′（x）=
∴x∈（0，1]时，g′（x）≤0
∴g（x）在（0，1]上递减，
在[1，∞）上递增，所以g（x）min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，
∴＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即 …（6分）
而＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴＜；…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥
设h（x）=（x＞0），则
令，则0＜x＜e；令，可得x＞e
∴当x=e时，h（x）max=，
∴当a≥时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增          …（11分）
若0＜a＜，，
∴时，取得极小值，即最小值．
当0＜a＜时，g（）=1-ln＜0，f'（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调…（13分）
∴a≥                                         …（14分）