Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=5^0.5f（5^0.5），b=（log_π3）f（log_π3），c=（log₃）f（log₃），则a，b，c的大小关系是    ．

Answer

由已知式子f（x）+xf′（x），可以联想到：（uv）′=u′v+uv′，从而可设h（x）=xf（x），
有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．
【解析】
构造函数h（x）=xf（x），
由函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数可得h（x）=xf（x）是R上的偶函数，
又当x∈（-∞，0）时h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
所以函数h（x）在x∈（-∞，0）时的单调性为单调递减函数；
所以h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递增函数．
又因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，从而h（0）=0
因为log3=-3，所以f（log3）=f（-3）=-f（3），
由0＜logπ3＜1＜1＜50.5＜2
所以h（logπ3）＜h（50.5）＜h（3），即：b＜a＜c
故答案为：b＜a＜c．