Question

设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x三角形的面积为定值，并求出此定值．

Answer

（1）欲求在点（2，f（2））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先在曲线上任取一点（x，x+）．利用导数求出过此点的切线方程为，令x=1得切线与直线x=1交点．令y=x得切线与直线y=x交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．
【解析】
（1）f′（x）=a-，
于是 解得 或 因a，b∈Z，故f（x）=x+．

（2）证明：在曲线上任取一点（x，x+）．
由f′（x）=1-知，过此点的切线方程为y-=[1-]（x-x）．
令x=1得y=，切线与直线x=1交点为（1，）．
令y=x得y=2x-1，切线与直线y=x交点为（2x-1，2x-1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为 |-1|•|2x-1-1|=|||2x-2|=2．
所以，所围三角形的面积为定值2．