Question

设函数f（x）=e^xμ（x），
（I）若μ（x）=x²-x+2的极小值；
（Ⅱ）若μ（x）=x²+ax-3-2a，设a＞0，函数g（x）=（a²+14）e^x+4，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出函数f（x）的表达式，然后利用导数求函数的极小值．
（Ⅱ）要使|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立，实质是求两个函数的最大值与最小值只差．分别利用导数求出函数f（x）和g（x）的最值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=exμ（x）=（x2-x+2）ex，，
令f'（x）=0，得或x=1．
由f'（x）＞0，得或x＞1，此时函数递增．
f'（x）＜0，得，此时函数递减．
所以当x=1时，函数取得极小值f（1）=．
（Ⅱ）f（x）=exμ（x）=（x2+ax-3-2a）ex，函数的导数为f'（x）=ex[x2+（a+2）-（3+a）]=ex（x-1）（x+3+a）．
当a＞0时，f（x）在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，
∴函数f（x）在区间[1，4]上的最小值为f（1）=-（a+2）e．
又∵f（0）=-（2a+3）＜0，f（4）=（2a+13）e4＞0，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的值域是[f（1），f（4）]，即[-（a+2）e，（2a+13）e4]（7分）
又g（x）=（a2+14）ex+4在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[（a2+14）e4，（a2+14）e8]（9分）
∵（a2+14）e4-（2a+13）e4=（a2-2a+1）e4=（a-1）2e4≥0，
∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立，只需要（a2+14）e4-（2a+13）e4＜1即可，
即（a-1）2e4＜1，，解得，即a的取值范围．