Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上遇到红灯个数X的分布列及数学期望．

Answer

（I）这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯是指事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，从而可求概率；
（II）确定变量的取值，根据独立重复试验的概率模型求出相应的概率，即可求X的分布列及期望．
【解析】
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
所以事件A的概率为P（A）=（1-）×（1-）×=．…（5分）
（Ⅱ）由题意，可得X可能取的值为0，1，2，3，4．
∴（k=0，1，2，3，4）．
∴即X的分布列是

X 1 2 3 4
P

…（10分）
∴X的期望是．…（13分）