Question

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求s₁、s₂、s₃的值；
（Ⅱ）用数学归纳法证明．

Answer

（Ⅰ）由an=n2，n∈N*即可求得s1、s2、s3的值；
（Ⅱ）（1）当n=1时，证明左边=右边；（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，去证明即n=k+1时，等式也成立即可（需用上归纳假设）．
【解析】
（Ⅰ）∵an=n2，n∈N*
∴s1=a1=1，s2=a1+a2=1+4=5，s3=a1+a2+a3=1+4+9=14．…（6分）
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=s1=1，
右边==1，
所以等式成立．…（8分）
（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，即Sk=，…（10分）
那么，Sk+1=Sk+（k+1）2
=+（k+1）2
=
=
=
即n=k+1时，等式也成立．…（13分）
根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N*都成立．…（14分）