Question

已知正方形ABCD的边长为2，P、Q分别为边AB、DA上的点．设∠BCP=α，∠DCQ=β，若△APQ的周长为4，则α+β=（ ）

A．15°
B．30°
C．45°
D．60°

Answer

延长AB到E，使|BE|=|DQ|，连接CE，利用SAS得到△CDQ≌△CBE，进而利用锐角三角函数定义表示出tanα+tanβ与tanαtanβ，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α+β），将表示出tanα+tanβ与tanαtanβ代入计算求出tan（α+β）的值，即可求出α+β的度数．
【解析】
延长AB到E，使|BE|=|DQ|，连接CE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠CBE=90°，|CD|=|CB|，
∴△CDQ≌△CBE（SAS），
∴∠BCE=∠DCQ=β，
在Rt△CDQ中，设|DQ|=|BE|=x，|CD|=2，
可得x=2tanβ，AQ=2-2tanβ，
在Rt△CPB中，设|PB|=y，|CB|=2，
可得y=2tanα，|AP|=2-2tanα，
又△APQ的周长为4，
∴|PQ|=4-（|AQ|+|AP|）=4-（2-2tanβ+2-2tanα）=2（tanα+tanβ），即tanα+tanβ=|PQ|，
在Rt△APQ中，根据勾股定理得：|PQ|=（2-2tanβ）2+（2-2tanα）2，
整理得：tanαtanβ=1-|PQ|，
∴tan（α+β）===1，
则α+β=45°．
故选C