Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且5a_n+1-2a_na_n+1+3a_n=8（m∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer

（Ⅰ）由a1=1，且5an+1-2anan+1+3an=8，即可求得a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中a1，a2，a3，a4的值可猜想an=，再用数学归纳法证明即可．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，5an+1-2anan+1+3an=8，
∴5a2-2a1a2+3a1=8，
∴3a2=5，
∴a2=．
同理可得，a3=，a4=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想，an=，（n∈N*）
（Ⅱ）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；
假设n=k时，ak=，
则n=k+1时，由5ak+1-2akak+1+3ak=8得：
ak+1=====，
即n=k+1时，等式也成立；
综上所述，对任意n∈N*，an=．