Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x²-6x+1．
（Ⅰ）求函数y=的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）试判断方程lnx=（其中e=2.718…）是否有实数解？并说明理由．

Answer

（I）利用导数的运算法则得到y′，（x＞0），令y′＞0，解出即可得到其单调递增区间；
（II）利用导数的运算法则得到f′（x），进而可得到其单调区间．分类讨论：当时与当时的单调性，即可得到其最小值；
（III）方程lnx=（其中e=2.718…）⇔（x＞0）．令u（x）=xlnx，v（x）=-．（x＞0）．利用导数分别研究u（x）的最大值与v（x）的最小值，进行比较即可．
【解析】
（Ⅰ）函数y==4lnx+x2-6x+1，（x＞0），
∴=，
令y′＞0，解得0＜x＜1或x＞2，
∴函数y=的单调递增区间是（0，1）和（1，+∞）．
（II）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得．
当时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
①当时，时，函数f（x）单调递减；，函数f（x）单调递增，
因此当x=时，f（x）取得极小值，也即最小值，且．
②当时，f（x）在区间[t，t+2]内单调递增，因此x=t时，函数f（x）取得最小值，且f（t）=tlnt．
（Ⅲ）方程lnx=（其中e=2.718…）⇔（x＞0）．
令u（x）=xlnx，v（x）=-．（x＞0）．
由（II）可知：u（x）在x=时取得极小值，也即最小值．
=，当0＜x＜1时，v′（x）＞0，函数v（x）单调递增；当1＜x时，v′（x）＜0，函数v（x）单调递减．
因此当x=1时，v（x）取得极大值，也即最大值v（1）=．
而当x=1时，u（1）=0=v（1），故方程lnx=（其中e=2.718…）无实数解．