Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N）
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer

（I）根据Sn=2n-an，利用递推公式，求出a1，a2，a3，a4．
（II）总结出规律求出an，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【解析】
（Ⅰ）由a1=2-a1，得a1=1，
由a1+a2=2×2-a2，得a2=，
由a1+a2+a3=2×3-a3，得a3=，
由a1+a2+a3+a4=2×4-a4，得a4=，
猜想an=
（Ⅱ）证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，
（2）假设n=k时猜想成立，即ak=，
此时Sk=2k-ak=2k-，
当n=k+1时，S k+1=2（k+1）-a k+1，得Sk+ak+1=2（k+1）-ak+1，
因此ak+1=[2（k+1）-Sk]=k+1-（2k-）=，
∴当n=k+1时也成立，
∴an=（n∈N+）．