Question

已知函数f（x）=x³-bx²+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若当x∈[1，3]时，f（x）-a²＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求函数的导数，利用f'（x）＞0求单调增区间．（2）将不等式恒成立转化为最值恒成立，利用导数求函数的最值．
【解析】
（1）f'（x）=3x2-2bx+6．---------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点．
∴f'（2）=0，即2是方程3x2-2bx+6=0的一个根，解得．----------------------（3分）
所以f'（x）=3x2-9x+6
令f'（x）＞0，则3x2-9x+6＞0，解得x＞2或x＜1．-----------------------（5分）
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．-----------------------（6分）
（2）∵当1＜x＜2时f'（x）＜0，当x＞2或x＜1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）内单调递减，f（x）在（2，3）内单调递增．-------------------（8分）
∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2），同时在区间[1，3]上的也是最小值，且 f（2）=a+2．------------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f（x）-a2＞2恒成立，只需f（2）＞a2+2，即a+2＞a2+2，------------------（12分）
解得 0＜a＜1．------------------（13分）
即的取值范围是0＜a＜1．