Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的大小．

Answer

解法一：（1）取PC的中点O，连结OF、OE，证明AF∥OE，利用线面平行的判定定理，即可证明AF∥平面PEC；
（2）作AM⊥CE，交CE延长线于M，连结PM，证明∠PMA是二面角P-EC-D的平面角，即可求二面角P-EC-D的大小．
解法二：（1）建立空间直角坐标系，证明，即可证明AF∥平面PEC；
（2）确定平面PEC、平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P-EC-D的大小．
解法一：（1）证明：取PC的中点O，连结OF、OE．
∴FO∥DC，且，
∴FO∥AE．
又∵E是AB的中点，且AB=DC，
∴FO=AE．
∴四边形AEOF是平行四边形，∴AF∥OE．…（5分）
又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC．…（7分）
（2）【解析】
作AM⊥CE，交CE延长线于M，连结PM．
由三垂线定理，得PM⊥CE．
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．…（11分）
由△AME～△CBE，可得．
∴．
∴二面角P-EC-D的大小为．…（14分）
解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），，E（1，0，0），…．（2分）
（1）证明：取PC的中点O，连结OE．则．，∴．…（5分）
又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC．…（7分）
（2）【解析】
设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．
∵．
∴由，可得
令z=-1，则=（-1，1，-1）．…（11分）
由题意可得平面ABCD的法向量是．
∴．
∴二面角P-EC-D的大小为．…（14分）