Question

已知数列{a_n}，其中（n∈N^*）
（1）写出{a_n}的前4项
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

Answer

（1）由a1=1，an+1=，即可求得a2，a3，a4；
（2）猜想an=，证明时分两步：①当n=1时，去证明猜想成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时猜想的等式成立，去证明当n=k+1时，猜想亦成立即可．
【解析】
（1）∵a1=1，an+1=，
∴a2===，
同理可求，a3=，a4=…（2分）
（2）由（1）猜想an=…（5分）
证明：①当n=1时，a1===1，猜想成立    …（7分）
②假设n=k（k＞1且k∈N*）时ak=成立 …（8分）
那么当n=k+1时，ak+1=====，
即：n=k+1猜想成立                        …（12分）
综上所述：当n∈N*时an=成立．            …（13分）